参考材料

1. 测电阻的六种方法及其原理_哔哩哔哩_bilibili
2. 【高中物理必修三系统课补充包】实验：半偏法测电阻|内含高能口诀！_哔哩哔哩_bilibili
3. 这些测电阻的方法是你必须掌握的：方法再多，掌握核心就是关键……_哔哩哔哩_bilibili

测电阻三原则

1. 安全
2. 精确
3. 简洁

补充

安全包括人身安全和财产安全

伏安法

Tip

伏安法测电阻中，电压和电流的测量可通过改装电表实现

说明

测电阻需要改变待测电阻分到的电压多测几次，讨论测电阻的方法 (除半偏法以外) 时，我们只关注测量电路。控制电路既可以选分压式，也可选限流式

安安法

原理

思考

利用两个电流表和一个定值电阻 $R_0$ 测量待测电阻 $R_x$。$A_1$ 和 $A_2$ 的读数分别为 $I_1$ 和 $I_2$。求：

1. 将 $A_1$ 和 $A_2$ 视为理想电表时，推导 $R_x$ 的表达式。
2. 考虑 $A_1$ 和 $A_2$ 的内阻 $r_1$、$r_2$ 时，推导 $R_x$ 的表达式。

解答

• 理想表：$R_{x}=\frac{U_{x}}{I_{x}}=\frac{(I_{2}-I_{1})R_{0}}{I_{1}}$
• 考虑内阻：$R_{x}=\frac{U_{x}}{I_{x}}=\frac{(I_{2}-I_{1})R_{0}-I_{1}r_{1}}{I_{1}}=\frac{(I_{2}-I_{1})R_{0}}{I_{1}}-r_{1}$

变式

测内阻

引入：安安法测电表内阻

若电流表内阻已知，可将其当做电流表、电压表和定值电阻来使用。借助一已知内阻的电流表，可以测量另一电流表的内阻。

安安法测电表内阻

1. 如图甲，当两电表的满偏电流接近时，如果已知 $A_{1}$ 的内阻 $R_{1}$，则可测出 $A_{2}$ 的内阻 $R_{2}=\frac{I_{1}}{I_{2}}R_{1}$；
2. 如图乙，当电表的满偏电压 $U_{V_{1}}\gg U_{V_{2}}$ 时，$A_{1}$ 并联一定值电阻 $R_{0}$ 后，同样可测得 $A_{2}$ 的内阻 $R_{2}=\frac{I_{1}(R_{1}+R_{0})}{I_{2}}$。

练习

某兴趣小组欲精确测量一电子元件的阻值，小组设计如图所示的电路图，已知定值电阻阻值 $R$、电流表内阻 $A_{1}$ 内阻 $r_{1}$。闭合开关 $S$ 前，滑动变阻器的滑片 $P$ 应处在 $M$（“$M$”或“$N$”）端。当开关 $S$ 闭合后，改变滑动变阻器滑片 $P$ 的位置，记录多组电流表 $A_{1}$ 的示数 $I_{1}$、电流表 $A_{2}$ 的示数 $I_{2}$，描点作出了图像 $I_{2}-I_{1}$，图像为直线，已知图线的斜率为 $k(K>1)$，则该电子元件的阻值 $\frac{R+r_1}{k-1}$（用 $R$、$r_{1}$、$k$ 表示）。

伏伏法

原理

思考

利用两个电压表和一个定值电阻 $R_0$ 测量待测电阻 $R_x$。$V_1$ 和 $V_2$ 的读数分别为 $U_1$ 和 $U_2$。求：

1. 将 $V_1$ 和 $V_2$ 视为理想电表时，推导 $R_x$ 的表达式。
2. 考虑 $V_1$ 和 $V_2$ 的内阻 $r_1$、$r_2$ 时，推导 $R_x$ 的表达式。

解答

• 理想表：$R_{x}=\frac{U_{x}}{I_{x}}=\frac{U_{1}}{I_{x}}=\frac{U_{1}}{\frac{U_{2}}{R_{0}}}==\frac{U_{1}}{U_{2}}R_{0}$
• 考虑内阻：$R_{x}=\frac{U_{x}}{I_{x}}=\frac{U_{1}}{\frac{U_{2}}{R_{0}}+\frac{U_{2}}{r_{2}}-\frac{U_{1}}{r_{1}}}$

变式

测内阻

引入：伏伏法测电表内阻

若电压表内阻已知，可将其当做电流表、电压表和定值电阻来使用。借助一已知内阻的电压表，可以测量另一电压表的内阻。

伏伏法测电表内阻

1. 如图甲，当两电表的满偏电流接近时，如果已知 $V_{1}$ 的内阻 $R_{1}$，则可测出 $V_{2}$ 的内阻 $R_{2}=\frac{U_{2}}{U_{1}}R_{1}$；
2. 如图乙，当电表的满偏电流 $I_{V_{1}}\ll I_{V_{2}}$ 时，$V_{1}$ 并联一定值电阻 $R_{0}$ 后，同样可测得 $V_{2}$ 的内阻 $R_{2}=\frac{U_{2}}{\frac{U_{1}}{R_{1}}+\frac{U_{1}}{R_{0}}}$。

练习

实验小组用图甲所示的电路来测量阻值约为 $18\,\Omega$ 的电阻的阻值，图中 $R_{0}$ 为标准电阻，阻值为 $R_{0}=4\,\Omega$；$V_{1}$、$V_{2}$ 为理想电压表，$S$ 为开关，$R$ 为滑动变阻器，$E$ 为电源，采用如下步骤完成实验。回答下列问题：

1. 实验开始之前，将滑动变阻器的滑片置于最右端（填“最左端”、“最右端”或“中间”）位置。合上开关 $S$，改变滑片的位置，记下两电压表的示数分别为 $U_{1}$、$U_{2}$，则待测电阻的表达式为 $R_{x}=$ $\frac{U_{2}}{U_{1}-U_{2}}R_{0}$ （用 $U_{1}$、$U_{2}$、$R_{0}$ 表示）。
2. 为了减小偶然误差，改变滑片的位置，多测几组 $U_{1}$、$U_{2}$ 的值，作出的 $U_{1}-U_{2}$ 图像如图乙所示，图像的斜率为 $k=$ $\frac{R_{x}+R_{0}}{R_{x}}$（用 $R_{0}$、$R_{x}$ 表示），可得 $20$ $\Omega$。

平衡电桥法

等量关系：$\dfrac{R_{x}}{R_{0}}=\dfrac{R_{2}}{R_{1}}$

练习

用图示的电路可以测量电阻的阻值，图中 $R_x$ 是待测电阻，$R_0$ 是定值电阻，$G$ 是灵敏度很高的电流表，$MN$ 是一段均匀的电阻丝。闭合开关，改变滑动头 $P$ 的位置，当通过电流表 $G$ 的电流为零时，测得 $MP=l_1$，$PN=l_2$，则 $R_x$ 的阻值为 $\frac{l_{2}}{l_{1}}R_{0}$

等效替代法

小结：等效替代法中心思想

不计算，用电阻箱代替待测电阻，电压电流均相等

半偏法测电表内阻

引入：半偏法中心思想

不计算，让待测电表和电阻箱电压电流均相等

1. 限流半偏：“认为”干路电流不变
2. 分压半偏：“认为”并联电路分压不变

测电流表内阻：限流半偏

1. 特征：电阻箱对干路电流几乎无影响
2. 要求： $R_{A}\ll R_{滑}$
3. 电路结构：并联 + 限流式
4. 误差：测量值偏小

测电压表内阻：分压半偏

1. 特征：电阻箱对电压表所在路的总电压几乎无影响
2. 要求 $R_{V}\gg R_{滑}$
3. 电路结构：串联 + 分压式
4. 误差：测量值偏大

误差分析

• 限流半偏：越并越小，并联电路等效电阻变小，干路电流变大，电阻箱所在支路电流大于 $I/2$ =>电流大，电阻小
• 分压半偏：并联电路等效电阻增大，并联电路分压增大，电阻箱分压大于 $U/2$ =>分压大电阻大

练习

为了精确测量微安表内阻，按图示电路实验：先将滑动变阻器 $R$ 的滑片 $P$ 移至最右端，调整电阻箱的阻值为零，闭合开关 $S$；缓慢左移滑片使微安表满偏；固定滑片，调节电阻箱使示数降为满偏的 $2/3$，测得电阻值为 $450\Omega$。测得微安表内阻为 $900\Omega$，该值较真实值偏大（“偏大”或“偏小”）。

补充说明

虽然我们介绍半偏法测电阻强调的是——限流半偏测电流表内阻，分压半偏测电压表内阻。这是因为分压半偏适用于大电阻，微安表 (表头) 的电阻其实并不小。