参考资料

1. zhuanlan.zhihu.com/p/601109437
2. zhuanlan.zhihu.com/p/601162581

思考

用学过的初中知识设计电路，测量电阻丝的阻值。

讲解注释

1. 自问自答：最简单的电路 (无控制部分)=>限流式接法的电路 (可改变电阻丝分压，多次测量)
2. 根据功能分为两部分：测量部分、控制部分；进而引入：测量/控制部分的两种接法区分。

测量部分——电流表的内外接

内外接

引入

1. 测电阻最基本的方法就是运用欧姆定律，把电压和电流分别测出来，然后再 $R=\frac{U}{I}$，这种方法也叫伏安法测电阻。
2. 那么问题来了，同时用到电压表和电流表应该怎么接呢？

• 在初中阶段，我们是不区分内外接的，因为电压表和电流表如果都是理想电表，那么内外接都是一样的，测量出来的值也都没有误差。
• 在高中阶段，因为电压表和电流表都不是理想电表，所以内外接就有误差了（理想和现实的差距...）

3. 我们就先来研究一下这个误差

两表的读数为 $U$ 和 $I$，两表的内阻记为 $R_{V}$ 和 $R_{A}$

1. 电流表内接时，表示出待测电阻的端电压、电流、电阻真实值 $R_{真}$？
2. $R_{真}$ 与 $R_{测}$ 进行比较并分析误差来源？

答案

1. $R_{真}=\frac{U-U_{A}}{I}=\frac{U-IR_{A}}{I}$
2. $R_{测}>R_{真}$ 。因为电流表分压了，实际测得的是电阻和电流表的串联电阻 $R_{测}=R_{真}+R_{A}$

1. 电流表外接时，表示出待测电阻的端电压、电流、电阻真实值 $R_{真}$？
2. $R_{真}$ 与 $R_{测}$ 进行比较并分析误差来源？

答案

1. $R_{真}=\frac{U}{I-I_{V}}=\frac{U}{I-\frac{U}{R_{V}}}$
2. $R_{测}<R_{真}$ 。因为电压表分流了，实际测得的是电阻和电压表的并联电阻 $R_{测}=\frac{R_{真}\cdot R_{V}}{R_{真} + R_{V}}$

提问和转折

1. 提问：由于电表内阻和接法引起的误差属于什么误差？系统误差
2. 转折：接下来我们要来学怎么选取接法来减小系统误差

思考

1. 待测电阻较小时，电流表应该选取什么接法？说明理由。
2. 电流表使用外接法时，待测电阻的测量值相较于真实值，偏大还是偏小？

答案

3. 内接法适用于测量大电阻。 内接法的误差是电流表分压引起的，待测电阻大，分压影响小；
4. 外接法适用于测量小电阻。 外接法的误差是电压表分流引起的，待测电阻小，分流影响小。

接法	电流表内接	电流表外接
实际测量值	待测电阻和电流表的串联电阻	待测电阻和电压表的并联电阻
误差来源	电流表分压	电压表分流
适用待测电阻	大电阻，即 $R_{x}\gg R_{A}$	小电阻，即 $R_{x}\ll R_{V}$

口诀

大内偏大，小外偏小：测量大电阻用电流表的内接法，测量值偏大；测量小电阻用电流表的外接法，测量值偏小

学考指南

学考实验题中，涉及内外接最可能的情况是测电阻率，待测电阻一般是导线，小电阻，用外接法。

如何选取接法

引入

以上我们只是定性分析了内外接法分别适用于什么电阻，但是 $R_{x}\gg R_{A}$ 和 $R_{x}\ll R_{V}$ 可以同时满足，这个时候我们应该怎样选取电流表的接法？

补充说明

试触法和比例计算法本质上都是在比较 $\frac{\Delta I}{I}$ 和 $\frac{\Delta U}{U}$，两害相权取其轻。

流内压外

如果已经知道了电流表内阻的准确值，那就用内接法；如果已经知道了电压表内阻的准确值，那就用外接法。

试触法

当待测电阻 $R_{待}$、电流表内阻 $R_{A}$ 和电压表内阻 $R_{V}$ 的大小关系不能确定时，如图所示，我们可以运用试触法来大致判断。

讲解注释

将电压表的可动接线端分别试接 $b$、$c$ 两点，观察两电表的示数变化。如果电流表的示数变化明显，说明电压表的分流作用对电路影响大，电压表的内阻相对而言比较小，那么待测电阻电阻值就相对较大，应选用内接法；如果电压表的示数有明显变化，说明电流表的分压作用对电路影响大，电流表的内阻相对而言比较大，那么待测电阻电阻值就相对较小，所以应选外接法。

练习

如图，有一未知电阻 $R_x$，为了较准确地测出电阻值，利用试触法得到两组数据，接 $a$ 时得到数据为 $6\;V$、$0.15\;A$，接 $b$ 时得到数据为 $5.8\;V$、$0.2\;A$，那么该电阻测得较为准确的数值及它与真实值比较的情况是

A. $29\;\Omega$，大于真实值
B. $40\;\Omega$，大于真实值
C. $29\;\Omega$，小于真实值
D. $40\;\Omega$，小于真实值

解答

通过内外接时的电表示数，粗略比较电压表分流导致电流的相对误差和电流表分压导致电压的相对误差

$$\begin{cases} \frac{\Delta U}{U}=\frac{6-5.8}{6}=\frac{1}{30} \\ \frac{\Delta I}{I}=\frac{0.2-0.15}{0.15}=\frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow \frac{\Delta U}{U}<\frac{\Delta I}{I}$$

分压的影响更小，应该采用电流表内接法，选 B

比例计算法

补充说明

以下推导中，$U$、$I$ 分别表示待测电阻 $R_{x}$ 的端电压及通过它的电流

1. 外接时，电压表分流导致电流的相对误差 $\frac{\Delta I}{I}=\frac{\frac{U}{R_{V}}}{I}$
2. 内接时，电流表分压导致电压的相对误差 $\frac{\Delta U}{U}=\frac{IR_{A}}{U}$
3. 比较大小：

• $\frac{\Delta I}{I}>\frac{\Delta U}{U}\Rightarrow \frac{\frac{U}{R_{V}}}{I}>\frac{IR_{A}}{U}\Rightarrow \left( \frac{U}{I} \right)^{2}>R_{A}R_{V}$，即当 $R>\sqrt{ R_{A}R_{V} }$ 时应选择内接法，电压表分流的影响大于电流表分压的影响
• 反之，当 $R<\sqrt{ R_{A}R_{V} }$ 时应选择外接法

完善口诀

基于此结论，对口诀“大内偏大，小外偏小”进行补充，判断待测电阻大小的临界值是 $\sqrt{ R_{A}R_{V} }$

小结

试触法和比例计算法本质都是比较 $\frac{\Delta I}{I}$ 和 $\frac{\Delta U}{U}$

控制部分——滑动变阻器的两种接法

转折

1. 师：确定了电表的内外接后，我们就要来测电阻的。但是我们不能只测一组 $U-I$ 值就直接求电阻，还要让电阻的端电压变化多测几组。要让它的电压变化的话，我们就需要用到一个仪器叫做？
2. 生：滑动变阻器
3. 师：那么滑动变阻器的接法有两种。我们先来看看滑动变阻器是通过什么来改变电阻的。(回顾滑动变阻器结构)

实验报告学案（Markdown 版）

[[实验报告：导体电阻率的测量]]

实验课注意事项

1. 长度、半径的测量：

• 提示学生关注几种长度测量工具的量程，特别要指出要用刻度尺（米尺）测量电阻丝的长度
• 及时查看学生记录在实验报告上的数据，检查是否读到指定位数。

2. 接线过程：为了提高电路的可读性，方便连接线路，可以先不管电流表电压表，完成连接后再将两表接入（特别是帮助学生排查接线问题时）。

误差分析

1. 系统误差：由于实验设计产生的误差，无法通过多次测量减少

• example：电流表分压、电压表分流导致的误差

2. 偶然误差：可以通过多次测量取平均减少的误差

• example：直尺、螺旋测微器、电表读数误差

分压式接法

介绍研究的电路

1. 在分压式接法中，滑动变阻器被滑片分为两部分，分别称为干路电阻和支路电阻
2. 在讲解前还要补充两点知识，并联电路的等效电阻比小的更小，且当 $R_{1}\ll R_{2}$，$R_{串}\approx R_{1}$

1. 当滑片在中央时，且 $A$、$B$ 之间无负载时^[1]，$U_{AB}=$？
2. 当滑片在中央时， $A$、$B$ 之间接入负载时，比较 $U_{AB}$ 与 $\frac{U}{2}$ 的大小?
3. 为了让 $U_{AB}=\frac{U}{2}$，滑片应该向哪里移动？
4. 通过上分析，你认为 $U_{AB}$ 与接入长度 $x$（电阻）的阻值成线性变化吗？

思考

1. 当 $R_0$ 和 $R$ 满足什么条件时， $U_{AB}$ 与 $x$ 成线性变化？
2. 若 $R \gg R_0$ 呢？ $U_{AB}$ 随接入长度 $x$ 的变化的形状会怎么样？

两种接法比较

问题：分压式/限流式接法怎么选

1. 要求电压表从零开始读数，选哪种接法？
2. 用 $R_{0}$ 表示滑变电阻的最大阻值，$E$ 表示电源电动势，求 $R_{x}$ 端电压的取值范围；
3. 待测电阻 $R_{x}\gg R_{0}$，选那种接法？
4. 测量同一个 $R_{x}$，那种接法干路电流大？
5. 有烧表风险时，选哪种接法？有节能需求时选哪种接法？

总结

	限流式	分压式
原理	通过滑变电阻限制整个电路的电流，调节 $R$ 的电流	通过调节并联电路的分压比例，调节 $R$ 的电压
滑片初始位置	为保护电路，初始时滑片处于电阻最大端	为保护电路，初始时滑片处于干路电阻最大端
滑变电阻最大阻值 $R_{0}$	$R_{x}$ 的 $2\sim10$ 倍	$R_{0}<2R_{x}$
$R_{x}$ 端电压范围	$\left[ \frac{R_{x}}{R_{x}+R_{滑max}}E ,E\right]$	$[0，E]$
优势	省电；省线；好接	从零开始调节，范围大；防烧表

分压/限流选择

• 要求大范围必分压（从 $0$ 开始/尽可能准确/要测多组数据/调节范围大）
• 根据电阻分析（$R_{滑 max}<2R_{x}$ 分压；$R_{x}$ 的 $2\sim10$ 倍限流）
• 防烧表必分压
• 要节能必限流

补充说明

1. 滑变电阻的最大阻值 $R_{0}$ 取值：

• 限流式：$R_{x}$ 的 $2\sim10$ 倍，太小范围小，太大操作难
• 分压式：$R_{0}<2R_{x}$，太小耗电，太大操作难。

2. 形象理解两种接法的区别：

• 限流式：简单粗暴，力大砖飞
• 分压式：以柔克刚，四两拨千斤

3. 考察分压概率大，不会选、没时间就蒙分压。

测量工具的使用

游标卡尺

1. 构造：主尺、游标尺
2. 用途：测量厚度、长度、深度、内径、外径
3. 原理：利用主尺和游标尺的单位刻度之间固定的微量差值来提高测量精度

讲解注释

1. 用 GGB 演示前，要明确我们实际测量的长度是主尺零刻度和游标尺零刻度之间的距离
2. 不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的小等分刻度少 $1 \;\mathrm{mm}$。 常见的游标尺上小等分刻度有 10 个、20 个、50 个的，其规格见下表

刻度格数 (分度)	刻度总长度	游标尺最小刻度	$1\;\mathrm{mm}$ 与每小格的差值	精确度 (可精确到)
$10$	$9\;\mathrm{mm}$	$0.9\;\mathrm{mm}$	$0.1\;\mathrm{mm}$	$0.1\;\mathrm{mm}$
$20$	$19\;\mathrm{mm}$	$0.95\;\mathrm{mm}$	$0.05\;\mathrm{mm}$	$0.05\;\mathrm{mm}$
$50$	$49\;\mathrm{mm}$	$0.98\;\mathrm{mm}$	$0.02\;\mathrm{mm}$	$0.02\;\mathrm{mm}$

Todo

修改 GGB 动画，使得游标尺边缘距零刻度更近（接近游标尺最小刻度），便于复现学生错误——选错要读的主尺刻度线（错因：从游标尺边缘往前读数）

逐字稿示例

1. 师：我们以 $10$ 分度的游标卡尺为例。首先要明确，我们要读的是游标尺零刻度对应的长度，这个长度可以分两部分——主尺读数和游标尺读数
2. 师：主尺读数就是游标尺零刻度前的那一格。
3. 师：游标尺读数就是主尺的这一格跟游标尺零刻度之间的距离。
4. 师：这一段距离怎么求呢？我们要找出主尺和游标尺刻度完全对齐的那个刻度，不妨设它是游标尺上的第 $n$ 格，那么这一段距离就可以表示成 $n\times 1 \;\mathrm{mm}-n\times 0.9\;\mathrm{mm}=n\times 0.1\;\mathrm{mm}$
5. 师：这个 $1-0.9=0.1\;\mathrm{mm}$ 就是 $10$ 分度游标尺的精确度。我们读数的时候不用从对齐的刻度反推，直接记结论就好了—— $游标尺读数=n\times精确度$

游标卡尺读数要点

1. 原理：游标卡尺读数基于刻度线对齐，无需估读。
2. 读数方法：

• 主尺读数：确定游标尺零刻度线左侧的主尺刻度值，用 $x$ 表示主尺读出来的毫米数
• 游标读数：找出游标尺上与主尺上某一刻线对齐的游标刻线的格数 $n$，乘以游标尺的精度
• 总读数：主尺读数 + 游标读数，即 $(x+n\times 精确度)\; \mathrm{mm}$

3. 注意精度：读数需精确到游标卡尺的最小精度位。若读数末位为零，必须保留，以体现测量精度。

变式

有一种新式游标卡尺，它的刻度与传统的游标卡尺明显不同 -- 刻度看起来很“稀疏”，使用时读数显得清晰明了，便于使用者正确读取数据。新式游标卡尺的刻度也有 $10$ 分度、$20$ 分度、$50$ 分度三种规格，但刻度却是 $19\;\mathrm{mm}$ 分成 $10$ 等分，$39\;\mathrm{mm}$ 分成 $20$ 等分，$99\;\mathrm{mm}$ 分成 $50$ 等分。以“$39\;\mathrm{mm}$ 分成 $20$ 等分”新式游标卡尺为例，如图，试分析其精确度是 $0.05$ $\,\mathrm{mm}$，如图的读数是 $31.25$ $\;\mathrm{mm}$。

讲解注释

从每一格对齐差 $0.05\,\mathrm{mm}$，变成每两格对齐差 $0.05\,\mathrm{mm}$，

螺旋测微器

1. 构造：$A$ 测砧、$B$ 固定刻度、$C$ 尺架、$D$ 旋钮、$D'$ 微调旋钮、$E$ 可动刻度、$F$ 测微螺杆
2. 读数：$测量值(\mathrm{mm})=固定刻度数(\mathrm{mm})+可动刻度数\times 0.01\;\mathrm{mm}$ (可动刻度数要估读)

讲解读数原理

测微螺杆 $F$ 与固定刻度 $B$ 之间的精密螺纹的螺距为 $0.5 mm$，意思是每旋转一周 $360^{\circ}$ ，测微螺杆前进或者后退 $0.5mm$ 。说白了，螺旋测微器就是通过测量角度，进而测量出长度的。通过计算，不难得出其他的读数所对应的角度。

$$> \begin{array}{cc} > 360^{\circ}\sim0.05\;\mathrm{mm}\\ > 1^{\circ}\sim \frac{0.5\;\mathrm{mm}}{360}=\frac{1}{720\;}\;\mathrm{mm}\\ > x^{\circ}\sim \frac{x}{720\;}\;\mathrm{mm} > \end{array} >$$

如果每次都要通过读出角度再转化成为长度值，那么也太麻烦了！干脆，直接不用角度了，直接把长度标上去就得了。

读数原理

通过测量角度，进而得到对应的长度

读数练习

螺旋测微器读数要点

1. 原理：螺杆旋转角度与前进距离线性相关，需估读。
2. 读数方法：

• 固定刻度：读整毫米数，半毫米线露出则加 $0.5\,\mathrm{mm}$；
• 可动刻度：读对齐格数（估读一位），乘 $0.01\,\mathrm{mm}$；
• 总读数：$测量值(\mathrm{mm})=固定刻度数(\mathrm{mm})+可动刻度数\times 0.01\;\mathrm{mm}$ (可动刻度数要估读)

3. 注意：读数时估读到千分之一毫米，因此，螺旋测微器又叫千分尺。

电压表/电流表

电压表/电流表要点

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1. $A$、$B$ 间断路 ↩︎