欧姆定律

1. 内容：导体中的电流 $I$ 跟导体两端的电压 $U$ 成正比，跟导体的电阻 $R$ 成反比
2. 公式：$I=\frac{U}{R}$
3. 适用条件：金属导电和电解液导电

串并联电路的电流和电压

转折

这是我们初中就知道的，但是初中我们只是学了是什么，并没有学过为什么？我们今天先探讨一下。首先看电流。

从定义出发分析电流关系

解释

• 恒定电流电路中各处电荷的分布是稳定的，相同时间内通过 0、1、2、3 各点的电荷量必然相等（不然电荷就会在某处随时间积累），根据电流的定义，串联电路中电流处处相等。
• 在相同时间内流过干路 0 点的电荷量等于进入各支路 1、2、3 各点的电荷量之和，根据电流的定义，并联电路的总电流等于各支路电流之和。

从电势的观点出发分析电压关系

拓展

从微观角度解释，理想导线中电势处处相等

以串联电路为例解释

$$> \begin{cases} > U_{01}=\varphi_{0}-\varphi_{1} \\ > U_{12}=\varphi_{1}-\varphi_{2} \\ > U_{23}=\varphi_{2}-\varphi_{3} > \end{cases} > \Rightarrow > U_{01}+U_{12}+U_{23}=\varphi_{0}-\varphi_{3}=U_{03} >$$

复杂电路化简

解答

解答

竞赛拓展

【培优】求立方体形网络的等效电阻_哔哩哔哩_bilibili

串并联电路的电阻

规律

1. 串联电路的等效电阻：$R=R_{1}+R_{2}$
2. 并联电路的等效电阻：$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$

推导过程

• 从定义出发
  • 串连: $R=\dfrac{U}{I}=\frac{U_{1}+U_{2}}{I}=R_{1}+R_{2}$
  • 并联: $R=\frac{U}{I}=\frac{U}{I_{1}+I_{2}}=\frac{1}{\frac{I_{1}}{U}+\frac{I_{2}}{U}}=\frac{1}{\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}}$
• 从电流/电压关系出发
  • 串连: $U=U_{1}+U_{2}\Rightarrow \frac{U}{I}=\frac{U_{1}}{I}+\frac{U_{2}}{I}\Rightarrow R=R_{1}+R_{2}$
  • 并连: $I=I_{1}+I_{2}\Rightarrow \frac{U}{R}=\frac{U}{R_{1}}+\frac{U}{R_{2}}\Rightarrow \frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$

练习

如图所示，每个电阻的阻值都是 $2\;\Omega$，电流表内阻不计，在 $B$、$C$ 间加 $6\;\mathrm{V}$ 电压时，电流表的示数是 $1\,\mathrm{A}$。

小结

需要先化简电路

串并联电路的等效电阻分析

思考

1. $n$ 个相同的 $R$ 串联，$R_{串}=$ $nR$ ；并联， $R_{并}=$ $\frac{R}{n}$。
2. 在已串联/并联的电路基础上，再串联/并联一个电阻，$R_串$ 和 $R_并$ 怎么变？越串越大，越并越小
3. 若串联/并联的电路中某个电阻增大，$R_串$ 和 $R_并$ 怎么变？均增大
4. 一大一小两个电阻串/并联

• $R_串$ 与 $R_{大}$ 与 $R_{小}$ 的关系？
• $R_并$ 与 $R_{大}$ 与 $R_{小}$ 的关系？
• $R_并$ 的变化受哪个电阻影响更大?

5. $R_{大}\gg R_{小}$，$R_串 /R_并$ 可以近似的看做哪一个？

板书

根据问题链进行讲授的时候可以板书以下表格

	串联电路	并联电路
$I$	$I=I_{1}+I_{2}$	$I=I_{1}=I_{2}$
$U$	$U=U_{1}+U_{2}$	$U=U_{1}=U_{2}$
$R$	$R_{串}=R_{1}+R_{2}$	$\frac{1}{R_{并}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$
$n$ 个相同的 $R$	$R_{串}=nR$	$R_{并}=\frac{R}{n}$
再并/串一个电阻	$R_{串}\uparrow$	$R_{并}\downarrow$
某个电阻增大	$R_{串}\uparrow$	$R_{并}\uparrow$
与 $R_{大},\;R_{小}$ 比较	$R_{串}>R_{大}$	$R_{并}<R_{小}$
$R_{大}\gg R_{小}$	$R_{串}\rightarrow R_{大}$	$R_{并}\rightarrow R_{小}$

判断

1. 一个电阻和一根无电阻的理想导线并联，总电阻为零 (对)
2. 并联电路任一支路的电阻都大于电路的总电阻 (对)
3. 并联电路任一支路的电阻增大 (其他支路不变)，则总电阻也增大 (对)
4. 并联电路任一支路的电阻增大 (其他支路不变)，则总电阻一定减小 (错)

练习

如图所示，变阻器的总电阻为 $R$，导线电阻不计，当它的滑片 $P$ 从左端向右端移动时，$A$、$B$ 间的电阻变化情况是 ($D$)

A. 减小
B. 增大
C. 先减小后增大
D. 先增大后减小

解答

$$R_{总}=\frac{1}{\frac{1}{R_{x}}+\frac{1}{R-R_{x}}}=\frac{R_x(R-R_x)}{R}$$

由均值不等式 $\sqrt{ ab }\leq \frac{a+b}{2}$ 得

$$R_x(R-R_x)\le\left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{R^2}{4}$$

等号当且仅当 $R_x=R-R_x$，即 $R_x=\frac{R}{2}$ 时成立。因此

$$R_{\rm 总}=\frac{R_x(R-R_x)}{R}\le\frac{R^2/4}{R}=\frac{R}{4}$$

当 $R_x=\dfrac{R}{2}$ 时取到最大值 $R/4$。

练习

(多选) 仪器中常用两个阻值不同的可变电阻来调节电路中的电流，一个粗调，一个细调，这两个变阻器可按图中甲、乙两种方式接入电路．已知 $R_{1}$ 最大阻值较大，$R_{2}$ 最大阻值较小，则 (AC)

A. 甲图中 $R_{1}$ 作粗调用   B. 甲图中 $R_{1}$ 作细调用
C. 乙图中 $R_{2}$ 作粗调用   D. 乙图中 $R_{2}$ 作细调用

电表的改装

引入

我们已经知道了电表不过是“智能”的电阻，接下去我们来了解它们“智能”的关键——表头

认识表头

表头，又称灵敏电流计、微安表

两个重要参数：

1. 满偏电流 $I_{g}$
2. 表头内阻 $R_{g}$；

思考

已知内阻 $R_{g}$ 和满偏电流 $I_{g}$，表头能否直接作为电压表使用？其电压量程是多少？

小结

表头既能用来测电流，又能用来测电压（可以提一下表盘怎么改，刻度是否均匀）

补充知识

常见表头的满偏电流和满偏电压

改装方法

思考

表头的 $I_{g}$ 是固定的，不管是用来测电压还是用来测电流，表头的量程很小，怎么变大呢？

• 想要增大指针满偏时分到的电压，应该串联还是并联？
• 想要增大指针满偏时经过的电流，应该串联还是并联？

关键引导

表头本身允许的满偏电流或者满偏电压是确定的，要使得改装后的电表能承受更大的电流或电压，该怎么做？加入元件帮助分担

将内阻为 $R_{g}$、满偏电流为 $I_g$ 的表头 $G$ 改装成量程为 $0 \sim U$ 的电压表，需串联一个阻值 $R=$ $\frac{U-R_{g}I_{g}}{I_g}$ 的电阻；改装后电压表的内阻为 $r_{改}=$ $R_{g}+R$。

推导

1. 串联电阻两端的电压：$U-R_{g}I_{g}$
2. 通过串联电阻的电流：$I_{g}$
3. 串联电阻的阻值：$R=\frac{U-R_{g}I_{g}}{I_g}$
4. 改装后电流表的内阻：$r_{改}=R_{g}+R$

将内阻为 $R_{g}$、满偏电流为 $I_g$ 的表头 $G$ 改装成量程为 $0 \sim I$ 的电流表，需并联一个阻值 $R=$ $\frac{R_{g}I_{g}}{I-I_{g}}$ 的电阻；改装后电流表的内阻为 $r_{改}=$ $\frac{R_{g}R}{R_{g}+R}$。

推导

1. 并联电阻两端的电压：$R_{g}I_{g}$
2. 通过并联电阻的电流：$I-I_{g}$
3. 并联电阻的阻值：$R=\frac{R_{g}I_{g}}{I-I_{g}}$
4. 改装后电流表的内阻：$r_{改}=\frac{R_{g}R}{r+R}$

速算

1. 内阻为 $R_{V}$ 的小电压表改装成为大电压表，量程扩大到 $n$ 倍

• 需要串联一个多大的电阻？
• 改装后的新电压表内阻大小？

1. 内阻为 $R_{A}$ 的小电流表改装成为大电流表，量程扩大到 $n$ 倍

• 需要并联一个多大的电阻？
• 改装后的新电流表内阻大小？

讲解注释

• 改装电压表：串连电阻分压是表头的 $n-1$ 倍，阻值是 $(n-1)R_{V}$
• 改装电流表：并联电阻分流是表头的 $n-1$ 倍，阻值是 $\frac{R_{A}}{n-1}$

世界上本没有电流表和电压表，只有灵敏的表头和它的改装

1. 电流表和电压表就是一个电阻。（一般改装后的 $R_{A}<1\;\Omega$，$R_{V}>1000\;\Omega$）；
2. 分析电表改装相关问题时，要从其内部结构出发。

练习

如图所示, 四个相同的电流表分别改装成两个安培表和两个伏特表。安培表 $A_{1}$ 的量程大于 $A_{2}$ 的量程, 伏特表 $V_{1}$ 的量程大于 $V_{2}$ 的量程，把它们按图接入电路，比较以下量的大小：

1. 安培表 $A_{1}$ 的偏转角等于安培表 $A_{2}$ 的偏转角；
2. 安培表 $A_{1}$ 的读数大于安培表 $A_{2}$ 的读数；
3. 伏特表 $V_{1}$ 的读数大于伏特表 $V_{2}$ 的读数；
4. 伏特表 $V_{1}$ 的偏转角等于伏特表 $V_{2}$ 的偏转角。

提示

1. 偏转角怎么比较？偏转角取决于通过表头的电流，表头的电流没法比较怎么办？把改装后电表的电路结构展开来。
2. 读数怎么比较？把电表看成电阻，能显示电压或电流

练习

如图所示，$A$、$B$ 两点接在恒压电源上，内阻不可忽略的电流表并联，示数分别为 $2 I_{0}$ 和 $3 I_{0}$。若将两只电流表串联起来接入电路中，两只电流表的示数均为 $4 I_{0}$。求电路不接入电流表时，流过 $R$ 的电流？

解答

不妨设 $A_{1}$ 的内阻为 $3r$，$A_{2}$ 的内阻为 $2r$，

$$\begin{cases} E=5I_{0}R+2I_{0}\cdot 3r \\ E=4I_{0}R+4I_{0}(3r+2r) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} r=\frac{R}{14} \\ E=\frac{38}{7}I_{0}R \end{cases}$$

因此，不接入电流表时，通过 $R$ 的电流为 $\frac{38}{7}I_{0}$。

小结

• 跟偏角有关=>拆开考虑内部结构
• 跟读数有关=> 直接当成电阻

练习

如图是有两个量程的电压表，当使用 $A$、$B$ 两个端点时，量程为 $0\sim10\;\mathrm{V}$；当使用 $A$、$C$ 两个端点时，量程为 $0 \sim 100\;\mathrm{V}$。已知表头的内阻 $R_{g}$ 为 $500\;\Omega$ ，满偏电流 $I_{g}$ 为 $1\;\mathrm{mA}$，求电阻 $R_{1}$ 、$R_{2}$ 的值。

练习

如图是有两个量程的电流表，量程为 $0 \sim 1\;\mathrm{A}$， $0 \sim 0.1\;\mathrm{A}$。已知表头的内阻 $R_{g}$ 为 $200\;\Omega$，满偏电流 $I_{g}$ 为 $2\;\mathrm{mA}$，问：

1. $AB$、$AC$ 哪两端的电流量程大？
2. 电阻 $R_{1}$ 、$R_{2}$ 的值。（列出方程即可）

解答

接 $A$、$B$ 时，量程记为 $I_{1}=1\;A$；接 $A$、$C$ 时，量程记为 $I_{2}=0.1\;A$

$$\begin{cases} I_{1}=I_{g}+\frac{R_{g}+R_{2}}{R_{1}}I_{g} \\ I_{2}=I_{g}+\frac{R_{g}}{R_{1}+R_{2}}I_{g} \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} R_{1}=\frac{20}{49}\;\Omega \\ R_{2}=\frac{180}{49}\;\Omega \\ \end{cases}$$

电表的校准

练习

将灵敏电流计 $G$ 串联一个电阻 $R$，此组合可以用来测电压。现将该组合与一标准电压表并联，如图所示，对某一电路进行测量，发现测出的电压总比标准电压表测出的值略微偏小。为了使其读数准确，应在串联电阻 $R$ 上再并联(串联/并联) 一个阻值适当的大(大/小) 电阻。

讲解注释

读数偏小 => 偏转角偏小 => 表头分到的电流偏小 => 想办法在总电流不变的前提下增加表头的分流比例

追问

如果测量值比真实值偏大呢？

练习

一电流表由电流计 $G$ 和电阻 $R$ 并联而成，如图所示，在校准时发现此电流表的读数总比准确值稍小些，采用下列措施可使读数变准确的是 (A)

A．在 $R$ 上串联一比 $R$ 小得多的电阻
B．在 $R$ 上串联一比 $R$ 大得多的电阻
C．在 $R$ 上并联一比 $R$ 小得多的电阻
D．在 $R$ 上并联一比 $R$ 大得多的电阻

讲解注释

读数偏小 => 偏转角偏小 => 表头分到的电流偏小 => 想办法在总电压不变的前提下增加表头的分流比例